lunes, 29 de abril de 2013

bloque 6

*DESCRIBE LA RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA RESOLVER TRIANGULOS RECTANGULOS*

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS :

Las Funciones Trigonométricas, haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas.

Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras,

las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los

Ángulos del Triángulo.

EL SISTEMA SEXAGESIMAL :

El sistema sexagesimal es un sistema de numeracion posicional que emplea como base aridmetica el número 60 (sesenta). Tuvo su origen en la antigua Babilonia. También fue empleado por los arabes durante el califato omeya. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad.
Sistema sexagesimal El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

EL SISTEMA CIRCULAR :

En este sistema la unidad de medida es el radián (rad).
Un radián es la medida del ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados determinan sobre ella un arco de longitud igual al radio r. Se simboliza 1 rad.

Razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón recíproca del seno:

$cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{c}{a}$

La secante (abreviado como sec), razón recíproca del coseno:

$sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{c}{b}$

La cotangente (abreviado como cot), razón recíproca de la tangente:

$cot \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{b}{a}$

RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS :

bloque 5

*EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA*

CIRCUNFERENCIA :

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

RECTAS Y SEGMENTOS :

1.-recta que corta la circunferencia en 2 puntos
2.-segmento que toca la circunferencia en 2 puntos
3.-segmento que pasa por el centro de la circunferencia y la corta en 2 puntos
4.-segmento que va del centro a cualquier parte de la circunferencia
5.-recta que toque a la circunferencia en un punto
6.-recta que no toca ningún punto de la circunferencia

1) secante
2) cuerda
3) diámetro
4) radio
5) tangente
6) recta exterior

ANGULOS :

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o ^vertice. Suelen medirse en unidades tales como el radian, el grado sexagecimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometria plana) o curvas (trigonometria esferica). Se denomina angulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un angulo solido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

PERIMETRO Y AREA :

Perímetro

En matematicas, el perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura geometrica.

Área

El área (abreviado con el simbolo a) es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

bloque 4

*RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS*

En geometria, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersectan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado a veces su cuerpo. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se llama policoro.

Clasificación

Clasificación de polígonos según el número de lados
Nombre	nº lados
trígono, triángulo	3
tetrágono, cuadrángulo, cuadrilátero	4
pentágono	5
hexágono	6
heptágono	7
octógono u octágono	8
eneágono o nonágono	9
decágono	10
endecágono o undecágono	11
dodecágono	12
tridecágono	13
tetradecágono	14
pentadecágono	15
hexadecágono	16
heptadecágono	17
octodecágono	18
eneadecágono	19
isodecágono, icoságono	20
triacontágono	30
tetracontágono	40
pentacontágono	50
hexacontágono	60
heptacontágono	70
octocontágono	80
eneacontágono	90
hectágono	100
chiliágono	1000
miriágono	10 000
decemiriágono	100 000
hectamiriágono, megágono	1 000 000
apeirógono	∞

Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta, o bien por la forma de su contorno.

Polígono

Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina

Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta.
Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.
Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos, es el que tiene todos sus ángulos menores que 180º.
Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos; es el que tiene uno o varios ángulos mayores que 180º.
Equilátero, si tiene todos sus lados iguales.
Equiángulo, si tiene todos sus ángulos iguales.
Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales.
Ortogonal o isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos $x$ o $y$ .⁶
Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.

Polígono simple, cóncavo e irregular.
Polígono complejo, cóncavo e irregular.
Polígono convexo y regular (equilátero y equiángulo).
Polígono estrellado.

ELEMENTOS Y PROPIEDADES:

ANGULO CENTRAL;

Angulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º

ANGULO INTERIOR;

Ángulos interiores de polígonos

Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

Ángulos exteriores de polígonos

Un ángulo exterior es un ángulo entre un lado de una figura y la línea que se extiende desde el lado siguiente.

LA SUMA DE LOS ANGULOS CENTRALES,INTERIORES Y EXTERIORES.

Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180º. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.

Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos interiores es:

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) los exteriores suman 360º

Nota: si sumas los ángulos interiores y exteriores sale el ángulo de una línea recta, 180°.

PERIMETRO Y AREA DE LOS POLIGONOS REGULARES E IRREGULARES.

POLIGONO REGULAR :

Calcular el área de un polígono regular es una tarea bastante sencilla porque hay una fórmula que sirve para todos los polígonos regulares.

Encontrar el área de un polígono irregular es como jugar un juego en el que tienes que construir una forma con un montón de formas más pequeñas, hay que crear formas estándar y sumar las áreas de las formas para encontrar el área del polígono irregular. Sin embargo, ser capaz de hacer esto es más útil que saber cómo jugar a un juego. Peritos, agricultores y jardineros deben ser capaces de encontrar el área de piezas de forma irregular para trabajar con la tierra adecuadamente.

ejemplo:

Observa en la figura como se divide el hexágono regular en seis triángulos congruentes (misma forma y tamaño). Por lo tanto, el área del hexágono es igual a seis veces el área de cada triángulo.
Decimos: Área del hexágono = 6 x área del triángulo.
Ahora bien:

La base de cada triángulo es un lado del hexágono.
La altura de cada triángulo es la apotema del hexágono. Por lo tanto:

Área del triángulo = base x altura / 2 = lado x apotema / 2 y el área del hexágono = 6 x lado x apotema / 2
¡Pero 6 x lado es el perímetro del hexágono! Por lo tanto:
Área del hexágono = perímetro x apotema / 2
Esta formula es valida para todos los polígonos regulares:
Área del polígono = perímetro x apotema / 2

El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema.

POLIGONO IRREGULAR :

El área de un polígono irregular se puede hallar descomponiendo el polígono en otras figuras: triángulos, rectángulos, trapecios, etc.
Observa la figura. Se calcula el área de un polígono como suma de 3 triángulos y un trapecio:

del triángulo ABE = 6 cm x 3 cm / 2 = 9 cm²
del triángulo EDM = 2 cm x 3 cm / 2 = 3 cm²
del trapecio MDCN = 3 cm + 2 cm / 2 x 3 cm = 7,5 cm²
del triángulo NCB = 1 cm x 2 cm / 2 = 1 cm²

Área del polígono = 9 + 3 + 7,5 + 1 = 20,5 cm²

viernes, 26 de abril de 2013

bloque 3

RESUELVE PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS Y TEOREMA DE PITAGORAS.

En general, dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos homólogos iguales y sus lados proporcionales.

Se llaman Criterios de Semejanza de dos triángulos, a un conjunto de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes. Esos criterios o casos son:

TEOREMA DE TALES

Existen dos teoremas en relación a la geometria clasica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales De Mileto en el siglo VI a. C.

Los dos teoremas de Tales

El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triangulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados homólogos proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.

Primer teorema

Una aplicación del teorema de Tales.

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, al saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Segundo teorema

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometria particularmente enfocado a los triangulos,rectangulos, las circunferencias y los angulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Teorema segundo
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.

Tales de Mileto

Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cociclicos y de la aplicación de los angulos inscritos dentro de una circunferencia.

Demostración

fig 2.2 Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.

fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC son isósceles.

En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig 2.3), los segmentos

OA , OB y OC

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

$2 \alpha + 2 \beta = \pi = 180^{\circ}$

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:

$A \widehat BC = \alpha + \beta = \frac {\pi} 2 \; = 90^{\circ}$

Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado

Una aplicación del teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales (con ayuda de compás, regla y escuadra o cartabón).

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

TEOREMA DE PITAGORAS.

El teorema de Pitágoras establece que en todo triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa ("el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras
En todo triangulo rectangulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

**Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas**
$a = \sqrt {c^2 - b^2}$	$b= \sqrt{c^2-a^2}$	$c = \sqrt {a^2 + b^2}$

PROBLEMAS

1 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:

1 Los catetos.

2 La altura relativa a la hipotenusa.

3 El área del triángulo.

2 Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma

cm.

3 Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

4 Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

5Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

6 Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.

7 En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

8 El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

9 A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

10 En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

11 Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

12Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:

1 Los catetos.

2 La altura relativa a la hipotenusa.

3 El área del triángulo.

domingo, 21 de abril de 2013

bloque 2

*CONGRUENCIA DE TRIANGULOS*

CRITERIOS SE CONGRUENCIA

Primer criterio de congruencia: LLL

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.

a ≡ a’

b ≡ b’

c ≡ c

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia: LAL

Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.